Sistem Pertidaksamaan Linear Pertidaksamaan linear merupakan sebuah pertidaksamaan dengan kombinasi operasi antar variabel yang ditandai dengan tanda (kurang dari), (kurang dari sama dengan), (lebih dari), atau (lebih dari sama dengan). Sedangkan gabungan dari beberapa pertidaksamaan linear disebut sistem pertidaksamaan linear. Sistem pertidaksamaan linear pada program linear yang diajarkan di tingkat SMA biasanya melibatkan dua variabel dengan dua atau lebih pertidaksamaan linear. Bagian ini menjadi dasar untuk dapat menyelesaikan masalah terkait program linear. Salah satu langkah penting dalam sistem pertidaksamaan linear pada pembahasan tentang program linear adalah dapat secara tepat menggambarkan garis dan daerah yang memenuhi di bidang kartesius. Pada bagian ini, sobat akan mempelajari bagaimana cara menentukan dua langkah tersebut.
Kumpulan contoh soal cerita tentang program linear dan pembahasannya. Untuk menyelesaikan soal cerita program linear, dibutuhkan kemampuan analisis yang lebih tinggi dibanding soal program linear yang biasa. Untuk mengetahui pendapatan maksimum, maka terlebih dahulu kita menyusun sistem pertidaksamaan dan fungsi tujuan dari soal cerita. Soal Matematika SMA/MA Kelas 11 Materi Program Linear Kurikulum 2013 dan Pembahasannya ini merupakan contoh soal terbaru yang akan saya bagikan bagi Bapak/Ibu yang mengampu mata pelajaran Matematika Kelas 11 SMA/MA yang telah menerapkan Kurikulum 2013 untuk semester 1. Program Linear adalah suatu program untuk menyelesaikan permasalahn yang batas-batasannya berbentuk pertidaksamaan linear.
Sebelumnya, ingat kembali sistem pertidaksamaan linear yang akan diberikan pada contoh di bawah. Contoh sistem pertidaksamaan linear Cara menggambar persamaan garis lurus dan menentukan daerah yang memenuhi: Himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan linear dua peubah dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut. Gambarlah garis pada bidang kartesius, cara lebih lengkapnya dapat dilihat. Ambil sembarang titik di luar garis kemudian hitung nilai dan bandingkan dengan nilai c.
Jika maka daerah yang memuat adalah daerah penyelesaian dari pertidaksamaan. Jika maka daerah yang memuat adalah daerah penyelesaian dari pertidaksamaan. Contoh cara menentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua peubah. Diberikan sistem pertidaksamaan linear berikut. Cari tahu daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear di atas. Daerah yang memenuhi pertidaksamaan. Daerah yang memenuhi pertidaksamaan.
Daerah yang memenuhi gabungan dari empat sistem pertidaksamaan linear:, dan. Model Matematika Model soal yang diberikan pada program linear biasanya berupa soal cerita.
Agar dapat menyelesaikan soal cerita yang diberikan, sobat idschool perlu merubahnya ke dalam model matematika. Model matematika merupakan suatu cara merubah permasalahan sehari-hari ke dalam bahasa matematika dalam bentuk persamaan, pertidaksamaan, dan fungsi. Untuk penjelasan lebih detailnya, perhatikan penyelesaian kasus berikut. Contoh soal model matematika Tentukan model matematika dari soal di bawah. Sebuah adonan roti basah dibuat dengan 2 kg tepung dan 1 kg gula.
Sedangkan sebuah adonan roti kering dibuat menggunakan 2 kg tepung dan 3 kg gula. Ibu memiliki persediaan tepung sebanyak 6 kg dan gula sebanyak 5 kg. Jika setiap satu adonan kue basah dapat memberikan untung Rp75.000,00 dan setiap adonan kue kering dapat memberikan untung Rp60.000,00, berapakah banyak kombinasi adonan roti yang dapat dibuat untuk mendapatkan keuntungan maksimal? Pembahasan: Misalkan: x = adonan roti basah y = adonan roti kering Perhatikan tabel di bawah.
Sehingga diperoleh model matematika dari soal di atas adalah seperti berikut. Pembahasan yang diberikan hanya berhenti sampai di sini, belum sampai menentukan kombinasi jenis roti yang dibuat untuk mendapatkan keuntungan maksimal. Solusi selanjutnya akan dibahas pada penjabaran materi di bawah. Cara Menyelesaikan Masalah Program Linear Cara menyelesaikan masalah program linear dapat dikatakan sebagai proses untuk menentukan nilai optimum dari suatu pertidaksamaan. Nilai tersebut dapat berupa nilai maksimum atau minimum, tergantung dari soal yang diberikan. Bentuk umum fungsi objektif dari suatu model matematika adalah. Terdapat dua metode yang dapat digunakan untuk menentukan nilai optimum tersebut, yaitu metode uji titik pojok dan garis selidik.
Penjabaran secara lebih jelasnya dapat dilihat pada pembahasan di bawah. Metode Uji Titik Pojok Sesuai namanya, metode uji titik pojok dilakukan dengan menghitung nilai fungsi tujuan dari titik pojok yang diperoleh. Titik pojok yang dimaksud di sini adalah titik-titik koordinat yang membatasi daerah layak dari suatu sistem pertidaksamaan linear.
Langkah – langkah yang dilakukan untuk menentukan nilai optimum dengan metode uji titik pojok adalah sebagai berikut. Menentukan garis-garis sistem pertidaksamaan yang menjadi fungsi kendala dari persoalan yang diberikan. Menentukan titik-titik pojok yang merupakan koordinat pembatas daerah yang memenuhi fungsi kendala. Menghitung nilai optimum dari titik-titik pojok yang diperoleh.
Mendapatkan nilai maksimum atau minimum sesuai permasalahan. Untuk memperjelas pemahaman materi tentang mencari nilai optimum dengan metode uji titik pojok, kita akan menyelesaikan permasalah yang telah dibahas sebagian pada bagian model matematika. Berdasarkan pembahasan sebelumnya diperoleh sistem pertidaksamaan berikut.
Lihat kembali soal yang diberikan, fungsi tujuan dapat diperoleh dari kalimat berikut. Jika setiap satu adonan kue basah dapat memberikan untung Rp75.000,00 dan setiap adonan kue kering dapat memberikan untung Rp60.000,00. Jadi, fungsi tujuannya adalah memaksimalkan. Menggambar daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan di atas. Menentukan titik koordinat yang mennjadi titik pojok pembatas daerah layak dari permasalahan sistem pertidaksamaan.
Titik Koordinat O, A, dan C dapat diperoleh dengan melihat gambar di atas, yaitu O(0,0), A(0, 5), dan C(3, 0). Sedangkan koordinat titik B dapat diperoleh dengan menggunakan metode eliminasi.
Mencari koordinat titik B. Substitusi nilai x = 1 pada persamaan x + y = 5 untuk mendapatkan nilai y. Koordinat titik B adalah (1, 4) Perhitungan nilai optimum: Jadi, nilai keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah Rp315.000,00 dengan membuat 1 (satu) adonan roti basah dan 4 (empat) adonan roti kering.
Metode Garis Selidik Selain metode uji titik pojok, cara lain yang dapat digunakan untuk mengetahui nilai optimum adalah metode garis selidik. Intinya, cara yang dapat dilakukan untuk mencari nilai optimum dengan garis selidik yang diperoleh dari persamaan fungsi objektif atau fungsi tujuannya. Jika fungsi tujuan adalah memaksimalkan maka nilai optimum diperoleh dari titik yang paling akhir menyentuh garis selidik yang digeser ke kanan mendekati daerah layak. Sedangkan nilai optimum dengan fungsi tujuan meminimumkan diperoleh dari titik koordinat yang pertama kali menyentuh geseran garis selidik yang digeser ke kiri mendekati daerah layak.
Begitu juga dengan sebaliknya. Berikut ini adalah langkah-langkah menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan metode garis selidik. Menentukan daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan yang diberikan. Menentukan persamaan garis selidik, dengan k adalah bilangan real. Geser garis selidik yang telah dibuat pada langkah nomor 2 atau buatlah garis-garis lain yang sejajar dengan garis selidik yang telah dibuat ke arah daerah layak.
Jika arah geser garis selidik ke kanan:. Jika titik adalah titik pada daerah penyelesaian yang pertama dilalui oleh garis selidik maka nilai minimum diwakiliki oleh titik tersebut. Jika titik adalah titik pada daerah penyelesaian yang terakhir dilalui oleh garis selidik maka nilai maksimum diwakiliki oleh titik tersebut.
Jika arah geser garis selidik ke kiri:. Jika titik adalah titik pada daerah penyelesaian yang pertama dilalui oleh garis selidik maka nilai maksimum diwakiliki oleh titik tersebut. Jika titik adalah titik pada daerah penyelesaian yang terakhir dilalui oleh garis selidik maka nilai minimum diwakiliki oleh titik tersebut. Untuk memperjelas pemahaman materi tentang mencari nilai optimum dengan metode garis selidik, kita akan menggunakannya untuk menyelesaikan permasalah yang telah dibahas sebagian pada bagian model matematika. Berdasarkan pembahasan sebelumnya diperoleh sistem pertidaksamaan berikut.
Lihat kembali soal yang diberikan, fungsi tujuan dapat diperoleh dari kalimat berikut. Jika setiap satu adonan kue basah dapat memberikan untung Rp75.000,00 dan setiap adonan kue kering dapat memberikan untung Rp60.000,00. Jadi, fungsi tujuannya adalah memaksimalkan. Persamaan garis selidik (ambil nilai k = 600.000): Menggambar daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan di atas dan garis selidiknya.
Nilai maksimum diwakili oleh titik B (titik yang pertama kali menyentuh garis selidik yang digeser ke arah kiri). Mencari koordinat titik B. Substitusi nilai x = 1 pada persamaan x + y = 5 untuk mendapatkan nilai y. Koordinat titik B adalah (1, 4) Substitusi koordinat titik B(1,4) pada persamaan. Jadi, nilai keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah Rp315.000,00 dengan membuat 1 (satu) adonan roti basah dan 4 (empat) adonan roti kering. Bagian terakhir yaitu mengenai contoh soal dan pembahasan program linear matematika sma yang akan diberikan dalam contoh-contoh soal berikut.
Contoh Soal dan Pembahasan Contoh Soal Program Linear 1 Luas daerah parkir. Luas rata-rata sebuah mobil dan luas rata-rata bus. Daerah parkir tersebut dapat memuat paling banyak 30 kendaraan roda empat (mobil dan bus). Jika tarif parkir mobil Rp2000,00 dan tarif parkir bus Rp5000,00 maka pendapatan terbesar yang dapat diperoleh adalah. (Soal Ujian Nasional) A. Rp40.000,00 B.
Rp50.000,00 C. Rp60.000,00 D.
Rp75.000,00 E. Rp90.000,00 Pembahasan.
Misalkan: x = banyak mobil y = banyak bus Perhatikan tabel di bawah! Diperoleh dua persamaan: Menentukan daerah yang memenuhi pertidaksamaan: Akan ditentukan nilai maksimum dengan metode titik sudut. Titik koordinat O, A, dan C dapat diperoleh dengan melihat gambar, yaitu O(0,0), A(0, 15), dan C(30,0). Untuk koordinat B dapat diperoleh dengan menggunakan eliminasi dan substitusi. Substitusi nilai y = 10 pada persamaan x + y = 30 untuk mendapatkan nilai x. Koordinat titik B adalah (20, 10) Perhitungan keuntungan maksimal yang dapat diperoleh: Jawaban: E Contoh Soal Program Linear 2 Biaya produksi satu buah payung jenis A adalah Rp20.000,00 per buah, sedangkan biaya satu buah produksi payung jenis B adalah Rp30.000,00. Seorang pengusaha akan membuat payung A dengan jumlah tidak kurang dari 40 buah.
Sedangkan banyaknya payung jenis B yang akan diproduksi minimal adalah dari 50 buah. Jumlah maksimal produksi kedua payung tersebut adalah 100 buah.
Biaya minimum yang dikeluarkan untuk melakukan produksi kedua payung sesuai ketentuan tersebut adalah. Rp2.000.000,00 B. Rp2.300.000,00 C. Rp2.200.000,00 D. Rp2.100.000,00 E. Rp2.000.000,00 Pembahasan: Pemisalan: x = banyak payung A y = banyak payung B Model matematika dari permasalahan tersebut adalah: Fungsi tujuan: meminimumkan Fungsi kendala: Daerah penyelesaian yang memenuhi permasalahan: Nilai minimim akan diperoleh melalui titik koordinat yang dilalui garis selidik yang pertama kali, yaitu titik A(40, 50).
Sehingga, biaya produksi minimum adalah Jawaban: B Oke, sekian dulu pembahasan mengenai contoh soal program linear dan pembahasannya. Semoga bermanfaat, terimakasih telah berkunjung di idschool(dot)net.
Matematikastudycenter- Kumpulan soal ujian nasional matematika SMA materi program linearr dari tahun 2007 hingga 2011, 2012, dan 2013 tercakup indikator menyelesaikan masalah program linear. Materi / SKL / Kisi-kisi Ujian: Program Linear 1) UN Matematika Tahun 2007 Paket 12 Luas daerah parkir 1.760 m 2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m 2 dan mobil besar 20 m 2.
Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah. Rp 176.000,00 B. Rp 200.000,00 C. Rp 260.000,00 D.
Rp 300.000,00 E. Rp 340.000,00 2) UN Matematika Tahun 2008 P12 Daerah yang diarsir pada gambar merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear. Nilai maksimum dari f (x, y) = 7x + 6y adalah. 196 3) UN Matematika Tahun 2008 P12 Seorang pembuat kue mempunyai 4 kg gula dan 9 kg tepung.
Untuk membuat sebuah kue jenis A dibutuhkan 20 gram gula dan 60 gram tepung, sedangkan untuk membuat sebuah kue jenis B dibutuhkan 20 gram gula dan 40 gram terpung. Jika kue A dijual dengan harga Rp4.000,00/buah dan kue B dijual dengan harga Rp3.000,00/buah, maka pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut adalah. Rp600.000,00 B. Rp650.000,00 C. Rp700.000,00 D.
Rp750.000,00 E. Rp800.000,00 4) UN Matematika Tahun 2009 P12 Menjelang hari raya Idul Adha.
Pak Mahmud hendak berjualan sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Jawa Tangah berturut-turut Rp 9.000.000,00 dan Rp 8.000.000,00. Modal yang ia miliki adalah Rp 124.000.000,00. Pak Mahmud menjual sapi dan kerbau di Jakarta dengan harga berturut-turut Rp 10.300.000,00 dan Rp 9.200.000,00. Kandang yang ia miliki hanya dapat menampung tidak lebih dari 15 ekor. Agar mencapai keuntungan yang maksimum, maka banyak sapi dan kerbau yang harus dibeli Pak Mahmud adalah.
11 sapi dan 4 kerbau B. 4 sapi dan 11 kerbau C. 13 sapi dan 2 kerbau D.
0 sapi dan 15 kerbau E. 7 sapi dan 8 kerbau 5) UN Matematika Tahun 2010 P37 Suatu perusahaan meubel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk membuat barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika barang jenis I dijual seharga Rp 250.000,00 per unit dan barang jenis II dijual seharga Rp 400.000,00 per unit, maka agar penjualannya mencapai maksimum, berapa banyak masing-masing barang harus dibuat? 12 jenis II C. 6 jenis I dan 6 jenis II D.
3 jenis I dan 9 jenis II E. 9 jenis I dan 3 jenis II 6) UN Matematika Tahun 2011 Paket 12 Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari.
Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B.
Jika harga tablet I Rp4.000,00 per biji dan tablet II Rp8.000,00 per biji, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah. Rp149.000,00 B. Rp249.000,00 C. Rp391.000,00 D. Rp609.000,00 E.
Rp757.000,00 7) UN Matematika IPA 2012 Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung dengan harga Rp1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp2.000.000,00 per buah.
Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp600.000,00, maka keuntungan maksimum yang diterima pedagang adalah A. Rp13.400.000,00 B. Rp12.600.000,00 C.
Rp12.500.000,00 D. Rp10.400.000,00 E. Rp8.400.000,00 8) UN Matematika Tahun 2013 Luas daerah parkir 1.760 m 2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m 2 dan mobil besar 20 m 2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp1.000,00/jam dan mobil besar Rp2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak kendaraan yang pergi dan datang, penghasilan maksimum tempat parkir adalah.
Rp176.000,00 B. Rp200.000,00 C. Rp260.000,00 D. Rp300.000,00 E.
Comments are closed.
|
Details
AuthorWrite something about yourself. No need to be fancy, just an overview. ArchivesCategories |